Factors of generalized Fermat numbers
published by Björn & Riesel

Anders Björn and Hans Riesel, Factors of generalized Fermat numbers,
Math. Comp. 67 (1998), pp. 441-446 (reference BR98 in the Prime Pages),
with a 49-page tables supplement.

Summarized by Wilfrid Keller

This page replaces a previous one created by Jim Fougeron in December 2003 and soon afterwards updated with three factors that were missing in the above paper; one of them, with k = 3, produced 16 new divisibilities, the other two one each. Fougeron presented an easy to read (and machine process) excerpt from the tables supplement, restricted to factors k · 2ⁿ + 1 having n > 14; In the range covered by the tables there exist 5121 divisibilities with factors of this nature. In addition, Fougeron reported that all factors with 15 ≤ n ≤ 704 had been “double verified during December 2003 with software of his own design”. Much later, in 2008, another missing factor was discovered by Arkadiusz Wesołowski during an extensive factor search.

In this newly arranged page (January 2020) we reproduce the complete set of factors and divisiblities contained in the tables supplement, applying a few modifications. Listed are prime factors of numbers F_m(a,b) = a^2m + b^2m when a + b is odd, or F_m(a,b) / 2 when a + b is even. In the singular case of (a,b) = (8,1), the number F_m(8, 1) / (2^2m + 1) = 4^2m − 2^2m + 1 is being considered instead of F_m(8,1). The modifications are:

1. When the number F_m(a,b) (or any other of the described forms) is itself a prime (and thus a trivial divisor of itself), Björn & Riesel (B & R for short) do include it in their factor list. In contrast, we shall only consider proper divisors of such numbers, as is usually done for Fermat numbers. Therefore, 16 primes are removed from B & R's list. Also ignored are 3 large factors only identified as probable primes (they were proved prime in the meantime).    
2. While B & R are listing factors of numbers F_m(a,b) for m ≥ 4 only, we include those for m = 1, 2, 3, too. So, taking into account all 41 relevant combinations of pairs (a,b), we have 123 additional numbers to examine. Of these, 58 are (small) primes, and the remaining 65 composites generate a total of 133 “new” divisibilities.
   In case that a multiple factor (i.e. some power of a prime dividing the number) occurs, then the factor is listed only once. Actually, this happens only six times throughout the whole table. Two typical examples are  4²¹ + 3²¹ = 25 = 5²  or  (9²³ + 7²³) / 2 = 24405761 = 17² × 84449.    
3. B & R's original tables supplement recorded 5982 entries. By observing the noted changes, the new count is obtained as 5982 + 19 previously missed divisibilities − 16 primes − 3 factors not yet proved prime at the time + 133 factors arising for m = 1, 2, 3, giving the total of 6115 divisibilities that are listed below.

The table of factors k · 2ⁿ + 1 is in two parts. The first one is confined to coefficients k < 10¹³ (lines 1 to 5876), the second assembles the remaining 239 factors with a larger value of k. For a factor resulting as a “final” factor the coefficient k may not be displayed explicitly, but only be represented by the high number of its digits. Overall, 235 final factors (“FF” or “[final factor]”) are recorded, which means: completed factorizations.

B & R's limits for the systematic search (which implicitly included m ≤ 3) are shown in the table below. Counts of divisibilities for the respective segments follow the inclusion rules described above. For rather small numbers F_m(a,b), actually for m ≤ 12 at most, remaining composite cofactors were further examined with factoring methods like ECM or MPQS. Factors k · 2ⁿ + 1 determined thereby necessarily had a coefficient k > 10⁹. In this way 332 additional factors with exponents n ranging from n = 5 to n = 16 were discovered and included in the tables.

n	Limit for k	# of divis
1−100	109	2402
101−1000	3 · 106	1806
1001−3000	21000	538
3001−5000	10000	301
5001−10000	1200	225
10001−12000	220	39
12001−20000	120	113
20001−50000	64	229
50001−100000	32	130
1−100000	total	5783
5−16	k  > 109	332
Complete table		6115

The following references reflect the history of this project, including two “table errata” commenting on the missing factors.

• 1969   Hans Riesel, Some factors of the numbers G_n = 6²ⁿ + 1 and H_n = 10²ⁿ + 1,
             Math. Comp. 23 (1969), 413-415.  PDF
• 1969   Hans Riesel, Common prime factors of the numbers A_n = a²ⁿ + 1, BIT 9 (1969), 264-269.
• 1988   John Brillhart, D. H. Lehmer, J. L. Selfridge, Bryant Tuckerman and S. S. Wagstaff, Jr.,
             Factorizations of bⁿ ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 Up to High Powers, 2nd edition.
             Contemporary Mathematics, vol. 22. American Mathematical Society, Providence,
             Rhode Island, 1988, xcvi + 236 pages.
• 1994   Hans Riesel and Anders Björn, Generalized Fermat numbers. Proc. Symp. Appl. Math. 48
             (1994), 583-587.
• 1994   Harvey Dubner and Wilfrid Keller, Factors of generalized Fermat numbers and large
             primes, communicated personally to Hans Riesel.
• 1994   Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd edition.
             Progress in Mathematics, vol. 126. Birkhäuser, Boston 1994, xvi + 464 pages.
• 1995   Harvey Dubner and Wilfrid Keller, Factors of generalized Fermat numbers.
             Math. Comp. 64 (1995), 397-405.  PDF
• 1998   Anders Björn and Hans Riesel, Factors of generalized Fermat numbers.
             Math. Comp. 67 (1998), 441-446, with Tables supplement, 49 pages.  PDF
• 2005   Anders Björn and Hans Riesel, Table errata to “Factors of generalized Fermat numbers”.
             Math. Comp. 74 (2005), 2099.  PDF
• 2011   Anders Björn and Hans Riesel, Table errata 2 to “Factors of generalized Fermat numbers”.
             Math. Comp. 80 (2011), 1865-1866.  PDF

        Factors  p = k.2^n + 1  of  a^(2^m) + b^(2^m)                 

  a   b        m             k        n    p  
------------------------------------------------------------
  3   1        3             1        4    17 
  3   1        3             3        6    193  FF 
  3   1        7             1        8    257 
  3   1        7          1075        8    275201 
  3   1        7   16897536483       13    138424618868737 
  3   1        8             3       12    12289 
  3   1        8         17525        9    8972801 
  3   1        9        131233       10    134382593 
  3   1        9      21797545       10    22320686081 
  3   1        9   11796787435       10    12079910333441 
  3   1       10            29       11    59393 
  3   1       10         51699       14    847036417 
  3   1       10        109503       12    448524289 
  3   1       11           193       12    790529 
  3   1       11        128041       12    524455937 
  3   1       15             1       16    65537 
  3   1       15             3       18    786433 
  3   1       19            13       20    13631489
  3   1       21            37       22
  3   1       21      27212059       22
  3   1       26             3       30
  3   1       26       6773531       27
  3   1       28            23       29
  3   1       29             9       33
  3   1       29       4205805       35
  3   1       31           135       35
  3   1       31         63787       32
  3   1       32             3       36
  3   1       33     115347853       34
  3   1       34          1469       35
  3   1       35      76159543       36
  3   1       36          3315       38
  3   1       38             3       41
  3   1       39            21       41
  3   1       39         58065       41
  3   1       44           443       45
  3   1       44     472908359       45
  3   1       45            57       48
  3   1       47      97151685       49
  3   1       49             7       50
  3   1       51            99       53
  3   1       54             5       55
  3   1       54       1713005       55
  3   1       56           615       59
  3   1       60          1905       62
  3   1       61             9       63
  3   1       63             3       66
  3   1       64             9       67
  3   1       72           201       75
  3   1       72     791388525       74
  3   1       73       1947709       74
  3   1       79             9       81
  3   1       80            11       81
  3   1       80         79815       83
  3   1       80        333383       81
  3   1       82        117567       84
  3   1       83     469440927       87
  3   1       90       2366505       92
  3   1       91           235       92
  3   1       92      29384505       95
  3   1       92     230442747       95
  3   1       94          2241       96
  3   1       95          2263       96
  3   1      100        328541      101
  3   1      123           163      124
  3   1      125         84669      130
  3   1      126             5      127
  3   1      127        519699      130
  3   1      128         50145      130
  3   1      139            31      140
  3   1      155          5835      157
  3   1      158             9      162
  3   1      161            75      163
  3   1      186        326129      187
  3   1      187             3      189
  3   1      198             3      201
  3   1      199           427      200
  3   1      207             3      209
  3   1      208          3369      213
  3   1      212       1167341      213
  3   1      241           535      242
  3   1      245         58059      247
  3   1      266            17      267
  3   1      268        184305      270
  3   1      271             3      276
  3   1      319             7      320
  3   1      319            81      324
  3   1      350         30305      351
  3   1      359           367      360
  3   1      370            45      372
  3   1      370           197      371
  3   1      370        488501      371
  3   1      392           281      393
  3   1      403             3      408
  3   1      435             3      438
  3   1      444         15501      447
  3   1      463         19107      466
  3   1      518         24171      521
  3   1      531             3      534
  3   1      577        223687      578
  3   1      602       2544993      606
  3   1      688           159      690
  3   1      710            89      711
  3   1      720       2437679      721
  3   1      792           183      794
  3   1      837            69      842
  3   1      839         66913      840
  3   1      839        194455      840
  3   1      849          5127      852
  3   1      896            15      900
  3   1      897           499      898
  3   1      899         33459      901
  3   1      931           669      933
  3   1      947         57571      948
  3   1      999            13     1000
  3   1     1019          2949     1021
  3   1     1089         10647     1091
  3   1     1303             9     1305
  3   1     1346           201     1348
  3   1     1488             9     1494
  3   1     1498           569     1499
  3   1     1642            93     1646
  3   1     1698          7161     1700
  3   1     1774         12041     1775
  3   1     1786           489     1789
  3   1     1866         16487     1867
  3   1     1966            21     1969
  3   1     2022          4503     2024
  3   1     2197             3     2208
  3   1     2711           721     2712
  3   1     2822             9     2826
  3   1     2843          1045     2844
  3   1     2917          5473     2918
  3   1     3160             3     3168
  3   1     3187             3     3189
  3   1     3280           623     3281
  3   1     3527            43     3528
  3   1     3684             9     3690
  3   1     3906             3     3912
  3   1     4726            29     4727
  3   1     4838             9     4842
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 11   1       52            51       53
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 12  11    8                 245 digits [final factor]    9 
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