Prime factors of generalized Fermat numbers
 F'm(5) = Fm(5) / 2
and complete factoring status

Compiled by Wilfrid Keller

Factorizations in standard notation

 Primes:   F'0(5) = 3,   F'1(5) = 13,   F'2(5) = 313
 F'3(5) = 17 · 11489
 F'4(5) = 2593 · 29423041
 F'5(5) = 641 · 75068993 · 241931001601
 F'6(5) = 769 · 3666499598977 · 96132956782643741951225664001
 F'7(5) = 257 · 23653200983830003298459393 · P62
 F'8(5) = 1655809 · 101199664791578113 · 4563566430220614493697 ·
12025702000065183805751513732616276516181800961 · P88
 F'9(5) = 19457 · 23606273 · 236554494714698753 · C329
F'10(5) = 222098200322834700098885633 · 2572682777891009859905092988929 · C659
F'11(5) = 1503233 · 18395137 · C1418
F'12(5) = 125960554963956072449 · C2843
F'13(5) = 163841 · 2405576034895487214392845762561 · C5691
F'14(5) = 1367005311397627489855671697409 ·
28179909134980218971238166865805313 · C11388
F'15(5) = 65537 · 152297193534717953 · C22882
F'16(5) = 39714817 · 354004455607901970620743681 · C45774
F'17(5) = 786433 · 4643094529 · 47148957697 · 43547626242440987934721 · C91567
F'18(5) = 14155777 · C183224
F'19(5) = 7340033 · 6616514561 · C366445
F'20(5) = 729938285969318871041 · C732903
F'21(5) = 19988838858438475777 · C1465827
F'22(5) = C2931693

The above prime factors  k · 2n + 1  for  m > 7

m k n     Year     Discoverer
8 1617     10 1993     A. Björn & H. Riesel
197655595296051 9 1994     A. Björn & H. Riesel
    8913215684024637683 9 1994     A. Björn & H. Riesel
[43 digits] 11 1996     A. Björn & H. Riesel
[85 digits] 9 1996     A. Björn & H. Riesel
9 19     10 1992     H. Dubner
23053     10 1993     A. Björn & H. Riesel
231010248744823     10 1996     A. Björn & H. Riesel
10     108446386876384130907659     11 2004     N. S. Melo
[27 digits]     12 2004     N. S. Melo
11 367     12 1992     H. Dubner
4491     12 1993     A. Björn & H. Riesel
12 1922005538390443     16 2004     J. Fougeron
13 5     15 1992     H. Dubner
k1 [26 digits]     15 2010     G. Reynolds
14 k2 [26 digits]     16 2009     G. Reynolds
[30 digits]     15 2010     G. Reynolds
15 1     16 1992     H. Dubner
2323870750957     16 2008     G. Reynolds
16 303     17 1992     H. Dubner
675209914413265172235     19 2010     G. Reynolds
17 3     18 1992     H. Dubner
1107     22 1992     H. Dubner
179859     18 1993     A. Björn & H. Riesel
83060505375749565     19 2012     G. Reynolds
18 27     19 1992     H. Dubner
19 7     20 1992     H. Dubner
3155     21 1993     A. Björn & H. Riesel
20 174030848972635     22 2013     S. Batalov & Woltman
21 4765710558519     22 2012     G. Reynolds

43 digit  k = 5871924804719328030152106314754041267666895
27 digit  k = 628096381321047329078391843
26 digit  k1 = 73412354580550757275172295
26 digit  k2 = 20858845693933524930659053
30 digit  k = 859982578582160002784367885309

Prime factors  k · 2n + 1  of numbers  F'm(5)  for larger  m

m k n     Year     Discoverer
23 5     25 1992     H. Dubner
326895     26 1993     A. Björn & H. Riesel
    64054976295     25 2008     G. Reynolds
24 37     26 1992     H. Dubner
25 1173463     28 1993     A. Björn & H. Riesel
26 3730559     29 1993     A. Björn & H. Riesel
  1310333370909     27 2010     T. Rajala & Reynolds
27 6537427     30 1993     A. Björn & H. Riesel
28 36159485     31 1993     A. Björn & H. Riesel
32 355     34 1992     H. Dubner
33 3859207     38 1993     A. Björn & H. Riesel
34 909     35 1992     H. Dubner
35 62866222881     36 2008     G. Reynolds
36 5     39 1992     H. Dubner
38 2465247     39 1993     A. Björn & H. Riesel
3903309     41 1993     A. Björn & H. Riesel
39 267     40 1992     H. Dubner
40 21     41 1992     H. Dubner
119     45 1992     H. Dubner
    535285277737     42 2008     G. Reynolds
41 11     43 1992     H. Dubner
44 6213     45 1993     A. Björn & H. Riesel
45 65     47 1992     H. Dubner
47 1831560875     49 2004     J. Fougeron
48 2395293333     49 2004     J. Fougeron
49 642084021     51 1994     A. Björn & H. Riesel
13877113491     51 2008     G. Reynolds
50 417     51 1992     H. Dubner
1005197     51 1993     A. Björn & H. Riesel
425697025409     51 2008     G. Reynolds
51 459     53 1992     H. Dubner
53 5     55 1992     H. Dubner
54 13093     56 1993     A. Björn & H. Riesel
58 129     59 1992     H. Dubner
1247869109     59 2004     J. Fougeron
59 58999692451     60 2008     G. Reynolds
    16909654924891     60 2014     S. Batalov & Woltman
60 596155     62 1993     A. Björn & H. Riesel
5544856301     61 2008     G. Reynolds
62 249069     63 1993     A. Björn & H. Riesel
63 9284291     67 1993     A. Björn & H. Riesel
65 3     66 1992     H. Dubner
33     66 1992     H. Dubner
66 9     67 1992     H. Dubner
72 246441     73 1993     A. Björn & H. Riesel
    15365812010501     73 2014     S. Batalov & Woltman
73 5     75 1992     H. Dubner
537090101     75 1994     A. Björn & H. Riesel
77 14983     78 1993     A. Björn & H. Riesel
81     5087632654069     82 2012     S. Batalov & Woltman
82 5     85 1992     H. Dubner
89 121212265     94 1993     A. Björn & H. Riesel
93 424635     96 1993     A. Björn & H. Riesel
97 495279     98 1993     A. Björn & H. Riesel
99 361     100 1992     H. Dubner
374199     101 1995     A. Björn & H. Riesel
104 58011382197     106 2008     G. Reynolds
106 7359     107 1993     A. Björn & H. Riesel
111 289235     113 1995     A. Björn & H. Riesel
112 4366097300905     114 2012     S. Batalov & Woltman
125 5     127 1992     H. Dubner
126 231327069     127 2003     J. Fougeron
127 111     128 1992     H. Dubner
128 348725     131 1995     A. Björn & H. Riesel
130     1680225272295     132 2012     S. Batalov & Woltman
137 1050695     139 1995     A. Björn & H. Riesel
141 41719     142 1993     W. Keller
146 17     147 1992     H. Dubner
147 3125     149 1993     A. Björn & H. Riesel
149 27411109     150 2003     N. S. Melo & Fougeron
151 749     153 1992     H. Dubner
160 21735494703     161 2008     G. Reynolds
163 345     166 1992     H. Dubner
171 7     174 1992     H. Dubner
176 35945     179 1993     W. Keller
    263899949763     177 2012     S. Batalov & Woltman
188 3     189 1992     H. Dubner
199     407658847371     203 2014     S. Batalov & Woltman
204 490100685     208 2008     A. Wesołowski
205 9     206 1992     H. Dubner
208 3     209 1992     H. Dubner
211 5851857     214 2003     J. Fougeron
212 67     214 1992     H. Dubner
220 3573413     221 2003     J. Fougeron
222 51327075     224 2003     J. Fougeron
245 28685     253 1993     W. Keller
119045     249 1994     A. Björn & H. Riesel
270 177     271 1992     H. Dubner
36389157     271 2003     J. Fougeron
288 33     289 1992     H. Dubner
41     289 1992     H. Dubner
292 952837     294 1995     A. Björn & H. Riesel
297 2925756919     298 2009     G. Reynolds
327 349795361     331 2008     A. Wesołowski
328 439963     332 1995     A. Björn & H. Riesel
330 5112477     331 2003     N. S. Melo & Fougeron
344 1448181     345 1995     A. Björn & H. Riesel
348 2545     350 1993     H. Dubner
364 6016641     365 2003     N. S. Melo & Fougeron
367 8631781587     368 2009     G. Reynolds
370 197     371 1992     H. Dubner
379 297     380 1992     H. Dubner
1254215     383 1995     A. Björn & H. Riesel
383 3893991455     385 2009     G. Reynolds
404 178701     405 1995     A. Björn & H. Riesel
406 3     408 1992     H. Dubner
408 153581     409 1995     A. Björn & H. Riesel
435 155     437 1992     H. Dubner
470 17     471 1992     H. Dubner
503 127     504 1992     H. Dubner
530 7607     531 1993     H. Dubner
540 773348213     541 2009     G. Reynolds
576 14515     580 1993     W. Keller
579 17007     580 1993     W. Keller
626 449     627 1992     H. Dubner
630 99     631 1992     H. Dubner
635 1387     636 1993     H. Dubner
677 6525     679 1993     H. Dubner
712 5051     713 1993     H. Dubner
718 57     719 1992     H. Dubner
735 82100127     736 2008     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
764 6108127     766 2003     J. Fougeron
793 183     794 1992     H. Dubner
826 33     828 1992     H. Dubner
828 7     830 1992     H. Dubner
840 556774675     844 2009     G. Reynolds
852 175     856 1992     H. Dubner
865 219993     866 1995     A. Björn & H. Riesel
873 1459303     874 1995     A. Björn & H. Riesel
891 347831     895 1995     A. Björn & H. Riesel
892 15     900 1992     H. Dubner
895 1905     897 1993     H. Dubner
923 24274861     924 2004     D. Kokales & Fougeron
972 75478533     973 2008     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
976 187271     977 1995     A. Björn & H. Riesel
1001 1373715183     1002 2012     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1064 841911     1067 2001     N. S. Melo & Gallot
1199 5022609     1205 2006     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1241 944105     1243 2001     N. S. Melo & Gallot
1324 872633     1325 2001     N. S. Melo & Gallot
1346 2933395     1350 2003     N. S. Melo & Fougeron
1354 1702367     1355 2003     N. S. Melo & Fougeron
1370 1785     1375 1993     H. Dubner
1379 14746977     1380 2007     M. Pacher, Jobling, Woltman & Fougeron
1394 290163     1396 2001     N. S. Melo & Gallot
1513 15     1518 1996     A. Björn & H. Riesel
1540 293     1541 1992     H. Dubner
1549 4539     1550 1996     A. Björn & H. Riesel
1705 239     1709 1992     H. Dubner
1780 67     1782 1992     H. Dubner
1785 321     1787 1992     H. Dubner
1790 207767     1791 2001     N. S. Melo & Gallot
1803 7     1804 1992     H. Dubner
1904 2260125     1907 2003     N. S. Melo & Fougeron
1945 5     1947 1992     H. Dubner
2133 4985     2135 1996     A. Björn & H. Riesel
2142 1607     2143 1996     A. Björn & H. Riesel
2147 855     2151 1993     H. Dubner
2206 3     2208 1992     H. Dubner
2324 66004803     2325 2012     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
2416 53685     2419 1997     W. Keller
2491 33997     2494 1997     W. Keller
2621 1446993     2622 2008     S. Harvey, Fougeron & Penné
2714 46716285     2717 2011     N. Kamenyuk, Fougeron & Penné
2804 3     2816 1992     H. Dubner
2827 235794045     2830 2012     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
2890 262295     2893 2003     N. S. Melo & Fougeron
2937 96538353     2938 2012     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
3019 680440867     3020 2014     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
3022 63     3024 1992     H. Dubner
3162 3     3168 1992     H. Dubner
3185 21247195     3190 2004     J. Fougeron
3296 66437077     3298 2011     N. Kamenyuk, Fougeron & Penné
3310 5     3313 1992     H. Dubner
3473 125     3475 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
3612 262834341     3613 2012     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
3655 45837     3656 1999     J. McLean & Gallot
3670 10557     3671 1997     W. Keller
3794 26308269     3797 2011     N. Kamenyuk, Fougeron & Penné
3910 3     3912 1992     H. Dubner
(Prime: G. V. Cormack & H. C. Williams 1979)
4288 3862421     4289 2003     J. Fougeron
4530 203391465     4533 2014     T. Nohara, Jobling, Woltman & Fougeron
4790 3696299     4791 2003     J. Fougeron
4850 2694767     4851 2003     J. Fougeron
5007 1779     5009 1998     W. Keller & Gallot
5010 537     5011 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
5086 2110465     5088 2003     J. Fougeron
5185 2694139     5186 2003     J. Fougeron
5914 629     5915 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
6067 1207     6068 1999     W. Keller & Gallot
6544 11596905     6546 2012     T. Nohara, Fougeron & Penné
6637 409     6638 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
6837 19     6838 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1978)
7820 681     7823 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
8059 39     8061 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1986)
8338 7593     8340 1999     T. Nohara & Gallot
8409 41     8411 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1983)
9194 59     9195 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1989)
9270 4689     9271 1999     T. Nohara & Gallot
9641 320201     9643 2005     S. Harvey, Fougeron & Woltman
10486 629     10487 1998     R. Ballinger & Gallot
11428 7275     11430 1999     A. Cano & Gallot
12167 982297     12168 2009     T. Nohara, Fougeron & Penné
12603 16620839     12605 2015     T. Nohara & Fougeron
12962 26927     12963 2005     S. Harvey, Fougeron & Woltman
13006 227     13007 2001     N. S. Melo  (Prime: J. Young 1996)
13161 5     13165 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1979)
13471 381     13472 1998     R. Ballinger & Gallot
(Prime: J. Buddenhagen & Gallot 1997)
13834 1700143     13836 2010     T. Nohara, Fougeron & Penné
13902 9     13903 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1991)
14990 3855     14992 1999     T. Nohara & Gallot
15038 2249     15039 1999     A. Cano & Gallot
15274 3078819     15275 2012     S. Batalov, Jobling & Fougeron
15923 375     15926 1998     R. Ballinger & Gallot
(Prime: C. F. Kerchner & Gallot)
16040 543531     16043 2010     T. Nohara, Fougeron & Penné
16466 9189     16467 2006     S. Harvey, Fougeron & Woltman
16485 646191     16487 2010     T. Nohara, Fougeron & Penné
16518 309     16519 1998     R. Ballinger & Gallot
(Prime: C. F. Kerchner & Gallot)
16669 45     16679 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: H. Dubner 1993)
16695 7     16696 1992     H. Dubner
17033 19     17034 1993     H. Dubner
17396 801     17397 1998     R. Ballinger & Gallot  (Prime: P. Demichel 1996)
19436 29441     19439 2008     A. Wesołowski
20718 249     20719 1998     Y. Gallot  (Prime: P. Demichel 1996)
20908 3     20909 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1985)
23471 5     23473 1992     H. Dubner  (Prime: W. Keller 1984)
25247 135     25249 1998     W. Keller & Gallot
26232 363     26233 2000     N. S. Melo & Gallot
27684 282323     27685 2012     T. Nohara, Fougeron & Penné
32423 37     32424 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
35271 25737     35274 2008     T. Nohara, Fougeron & Penné
37248 33     37249 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1993)
37391 39     37393 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
39488 3201     39489 2004     J. Fougeron
39824 195     39826 1998     R. Ballinger & Gallot
40988 183     40989 2008     L. Vogel & Fougeron
(Prime: B. Gibbons, Reynolds & Penné)
41943 42865     41946 2008     T. Nohara, Fougeron & Penné
42561 1099     42562 2001     N. S. Melo & Fougeron
43610 2315     43617 2003     J. Fougeron  (Prime: J. Fougeron 2001)
54786 3     54792 2003     M. Schröder & Gallot
59769 741     59771 2001     G. Axelsson & Fougeron
(Prime: T. Taura & Gallot 1998)
59972 3     59973 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
60737 199     60738 1998     H. Dubner & Gallot
68425 13083     68426 2009     R. Keiser, Fougeron & Penné
69337 46805     69339 2013     F. Le Foulher & Fougeron
74759 457     74760 2000     E. Kostolansky & Gallot
75858 99957     75859 2014     S. Batalov & Rodenkirch
93277 11     93279 1996     A. Björn & H. Riesel  (Prime: J. Young 1995)
101739 67     101742 1998     A. Nunes & Gallot
102410 309     102411 2001     N. S. Melo & Gallot
103153 71     103155 1999     W. Keller, I. Buechel & Gallot
107983 11647     107984 2012     S. Batalov, Jobling & Fougeron
109737 5921     109739 2010     L. Morelli & Fougeron
112207 121     112208 1999     F. Yura & Gallot
113547 39     113549 1999     J. Renze & Gallot
114292 13     114296 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
125410 5     125413 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
133281 6183     133282 2011     S. Martin, Reynolds, Penné & Fougeron
134708 221     134709 2001     J. Fougeron
149145 19     149146 1998     Y. Gallot
157168 3     157169 1997     Y. Gallot  (Prime: J. Young 1995)
161484 255     161486 2000     D. Davis & Gallot
196120 5061     196121 2011     R. Reynolds, Reynolds, Penné & Fougeron
218547 37     218550 2001     P. J. Dodson & Gallot
227388 9191     227389 2011     M. Doom, Reynolds, Penné & Fougeron
303092 3     303093 1998     Y. Gallot  (Prime: J. Young)
322209 8523     322210 2012     P. Seybold-Epting, Reynolds, Penné & Fougeron
331986 225     331990 2005     J. Fougeron
458709 45     458712 2007     W. Keller & Fougeron  (Prime: M. Crosa & Penné)
479838 1995     479842 2009     S. Harvey, Fougeron & Penné
512994 39     512997 2005     P. Grobstich, Jobling, Woltman & Gallot
539264 1209     539269 2010     A. Ferrara, Reynolds, Penné & Fougeron
544886 347     544887 2009     J. Foody, Reynolds, Penné & Fougeron
561815 7     561816 2003     P. Samidoost & Gallot
562454 13     562456 2003     P. Grobstich, Jobling, Woltman & Gallot
600269 33     600270 2005     R. Keiser, Jobling, Penné & Fougeron
701051 4267     701052 2011     S. Brown, Reynolds, Penné & Fougeron
709963 3     709968 2005     K. P. Adney, Jobling, Woltman & Gallot
773564 67     773566 2008     S. Harvey, Reynolds, Penné & Fougeron
801238 1743     801240 2012     S. Cilliers, Reynolds, Penné & Fougeron
801977 3     801978 2005     K. P. Adney, Jobling, Woltman & Gallot
811228 7     811230 2002     P. Samidoost & Gallot
816030 459     816031 2011     J. Goral, Reynolds, Penné & Fougeron
832206 249     832207 2010     S. Harvey, Reynolds, Penné & Fougeron
894765 43     894766 2006     C. Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
916800 113     916801 2009     R. Eckhard, Fougeron & Penné
1016599 151     1016600 2010     S. Harvey, Reynolds, Penné & Fougeron
1033186 549     1033187 2011     D. Domanov, Reynolds, Penné & Fougeron
1211755 99     1211757 2011     S. Harvey, Reynolds, Penné & Fougeron
1233439 531     1233440 2011     A. Barbyshev, Reynolds, Penné & Fougeron
1282748 5     1282755 2002     M. Toplic & Gallot
1418600 15     1418605 2006     C. Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
1777511 5     1777515 2005     T. Nohara & Fougeron
(Prime: S. Yamashita, Jobling, Woltman & Fougeron)
1779969 45     1779971 2011     B. Courty, Reynolds, Penné & Fougeron
1832494 3     1832496 2007     J. Bohanon, Jobling, Penné & Fougeron
1873568 71     1873569 2011     B. Courty, Reynolds, Penné & Fougeron
2141871 25     2141884 2011     G. Granowski, Reynolds, Penné & Fougeron
2145352 3     2145353 2003     J. B. Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2167799 7     2167800 2007     C. Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2291609 3     2291610 2008     L. Vogel & Fougeron
(Prime: T. Wolfram, Reynolds & Penné)
3587841 35     3587843 2014     P. Tibbott, Reynolds, Penné & Fougeron
5082305 3     5082306 2009     P. Kaiser & Fougeron
(Prime: A. Brady, Reynolds & Penné)
10829345 3     10829346 2014     S. Y. Tang, Reynolds, Penné & Fougeron

Summary of factoring status for numbers  F'm(5)

Prime   m = 0, 1, 2
Completely factored m = 3, 4 (two factors each), 5, 6, 7 (three factors each),
       8 (five factors)
Four prime factors known m = 17*
Three prime factors known m = 9*, 23, 40, 50
Two prime factors known m = 10*, 11*, 13*, 14*, 15*, 16*, 19*, 26, 38, 49, 58,
       60, 65, 72, 73, 99, 176, 245, 270, 288, 379
Only one prime factor known m = 12*, 18*, 20*, 21*, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 34, 35, 36,
       39, 41,  and 255 values of  m  with  41 < m ≤ 10829346
Composite but no factor known   m = 22GR
Character unknown   m = 29, 30, 31, 37, 42, 43, 46, 52, 55, 56, 57, 61, . . .
* Cofactor composite   GR G. Reynolds, October 2009

346 prime factors known
303 numbers  F'm(5)  known to be composite

Count of factors according to difference  nm

nm   = 1, 2, 3, 4,  5, 6, 7, 8,  10,  12,  13
Frequency 176,   91,   39,   20,   10,   3,   2,   2,   1,   1,   1


 Full names of researchers 
with specification of contributions to bases  b = 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12

Names given without initials in the discoverer column above refer to an indirect involvement of programmers
whose software was essential for the discovery of the particular prime factor: Fougeron (FermFact, PFGW),
Gallot (Proth), Jobling (NewPGen), Penné (LLR), Reynolds (Srsieve), Woltman (PRP, mmff).

Please send new factors to Wilfrid Keller.


Last modified: October 16, 2016.